2. Logické proměnné a logické funkce

• Popište logické funkce AND, NAND, OR, NOR, XOR, NOT
• Principy Booleovy algebry, její základní operace a využití při návrhu logických obvodů, De Morganovy zákony

---

1. Základní logické funkce

• Logická proměnná nabývá pouze dvou stavů: 0 (nepravda / log. nula) nebo 1 (pravda / log. jednička).
• Například v běžné digitální logice (technologie TTL):
  • Logická 0: Napětí blízko 0 V (0 až 0,8 V).
  • Logická 1: Napětí blízko 5 V (2,4 až 5 V).
• Pokud je logická proměnná „stav“ (0 nebo 1), pak logická funkce je pravidlo, které určuje, jaký bude výsledek na základě těchto stavů.
• NAND a NOR jsou univerzální členy, protože pomocí nich (a jen jich) můžeme poskládat jakoukoli jinou logickou funkci.

Funkce	Symbol	Zápis	Popis (Selským rozumem)	Kdy je na výstupu 1?
NOT		$Y=\bar{A}$	Inverze. Obrátí hodnotu.	Když je na vstupu 0.
AND		$Y=A\cdot B$	Logický součin. Podmínka “A i B zároveň”.	Jen když jsou oba vstupy 1.
OR		$Y=A+B$	Logický součet. Podmínka “A nebo B (nebo oba)“.	Když je aspoň jeden vstup 1.
NAND		$Y=\overline{A\cdot B}$	Negovaný součin. Opak AND.	Vždy, kromě případu, kdy jsou oba 1.
NOR		$Y=\overline{A+B}$	Negovaný součet. Opak OR.	Jen když jsou oba vstupy 0.
XOR		$Y=A\oplus B$	Exkluzivní součet. “Buď, anebo”.	Když se vstupy liší (jeden 0, druhý 1).

---

2. Booleova algebra

• Je to matematika pracující s logickými proměnnými. Má své zákony, které používáme k minimalizaci (zjednodušení) logických obvodů. Méně hradel = levnější, menší a rychlejší čip.

• Je nazvána podle britského matematika George Boolea.

• 2.1 Přehled zákonů Booleovy algebry

  Název zákona	Součtová forma (OR)	Součinová forma (AND)
  Axiomy	$0+0=0$ $0+1=1+0=1$ $1+1=1$	$1\cdot 1=1$ $1\cdot 0=0\cdot 1=0$ $0\cdot 0=0$
  Zákon komutativní	$a+b=b+a$	$a\cdot b=b\cdot a$
  Zákon asociativní	$a+(b+c)=(a+b)+c$	$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
  Zákon distributivní	$(a\cdot b)+(a\cdot c)=a\cdot (b+c)$	$(a+b)\cdot (a+c)=a+(b\cdot c)$
  Zákon idempotence	$a+a=a$	$a\cdot a=a$
  Zákon vyloučeného třetího	$a+\bar{a}=1$	$a\cdot \bar{a}=0$
  Zákon agresivních hodnot	$a+1=1$	$a\cdot 0=0$
  Zákon neutrálních hodnot	$a+0=a$	$a\cdot 1=a$
  Zákon adsorpce	$a+a\cdot b=a$	$a\cdot (a+b)=a$
  Zákon adsorpce negace	$a+\bar{a}\cdot b=a+b$	$a\cdot (\bar{a}+b)=a\cdot b$
  Zákon dvojí negace	$\overline{\stackrel{ˉ}{a}}=a$
  Zákony deMorganovy	$\overline{a+b}=\bar{a}\cdot \bar{b}$	$\overline{a\cdot b}=\bar{a}+\bar{b}$

---

3. Využití při návrhu obvodů

• Tento proces má pět pevných kroků, které se používají u každého digitálního zařízení:

  1. Slovní zadání: Definujeme, co má obvod dělat, kolik má vstupů a co je výstupem.
  2. Sestavení pravdivostní tabulky: Zapíšeme všechny možné kombinace vstupů (pro $n$ vstupů je to $2^n$ řádků) a ke každé určíme, zda má být na výstupu 0 nebo 1.
  3. Sestavení logické funkce: Z tabulky „vytáhneme“ rovnici. Nejčastěji se používá součtová forma (hledáme řádky, kde je výstup 1, a ty spojíme znaménkem $+$).
  4. Minimalizace: Aby byl obvod co nejmenší a nejlevnější, zjednodušíme rovnici pomocí Booleovy algebry nebo Karnaughových map.
  5. Realizace: Výslednou zjednodušenou rovnici překreslíme do schématu pomocí značek pro logická hradla (AND, OR, NOT…)

• 3.1 Praktický příklad - Ovládání čerpadla s ochranou:

  • 1. Slovní zadání (Analýza problému):

    • Máme čerpadlo, které chceme ovládat. Aby motor neshořel a čerpadlo se nezničilo, definujeme si tři vstupní podmínky (logické proměnné):

      • V (Vypínač): Hlavní spínač na panelu ($1=\text{Zapnuto}$).
      • H (Hladina): Snímač hladiny v nádrži ($1=\text{Dostatek vody}$, $0=\text{Sucho}$).
      • T (Termokontakt): Tepelná ochrana motoru ($1=\text{Teplota v normeˇ}$, $0=\text{Prˇehrˇaˊtıˊ}$). Logická funkce: Čerpadlo ($M=1$) se spustí pouze tehdy, když je zapnutý vypínač, je dostatek vody a motor není přehřátý.

    • 2. Pravdivostní tabulka:

      • Sestavíme všechny kombinace ($2^3=8$). Všimni si, že stačí jedna nula v kritickém vstupu a motor se zastaví.

        V (Vypínač)	H (Hladina)	T (Teplo)	M (Motor)	Stav systému
        0	0	0	0	Vypnuto
        0	1	1	0	Vypnuto, voda i teplo OK
        1	0	1	0	CHYBA: Běh na sucho!
        1	1	0	0	CHYBA: Přehřátí motoru!
        1	1	1	1	PROVOZ: Vše v pořádku
        (ostatní kombinace)			0

    • 3. Logická rovnice:

      • Z tabulky vidíme, že jednička na výstupu je pouze v posledním řádku. Rovnice tedy zní: $$M=V\cdot H\cdot T$$
      • Jedná se o čistou funkci AND se třemi vstupy.

    • 4. Co když chceme “Poruchovou signalizaci”? (De Morgan v praxi)

      • Představ si, že chceš mít na panelu kontrolku PORUCHA ($P=1$), která se rozsvítí, když je zapnutý vypínač, ale čerpadlo neběží (voda nebo teplo jsou špatně).

      • Rovnice pro poruchu by byla: $P=V\cdot \overline{(H\cdot T)}$

      • Tady nastupuje De Morganův zákon. Můžeme to přepsat:

        $$P=V\cdot (\bar{H}+\bar{T})$$

      • Slovní výklad: Porucha svítí, když je zapnutý vypínač A ZÁROVEŇ (je málo vody NEBO je motor přehřátý).