6. Binární sčítání, sčítačky, komparátory

• Sčítání binárních čísel
• Konstrukce obvodů binární sčítačky (poloviční, úplná)
• Konstrukce obvodů komparátoru dvou logických proměnných

---

1. Sčítání binárních čísel

• Sčítání v binární soustavě probíhá velmi podobně jako v desítkové (pod sebou), ale pracujeme pouze s ciframi 0 a 1.

• Při sčítání postupujeme vždy zprava doleva (od nejméně významného bitu – LSB). Nejdůležitější je hlídat si přenos do vyššího řádu (tzv. carry), který si v duchu (nebo malou jedničkou nad sloupce) přenášíme dál.

  
  
  

  (přenosy)   1 1 1 1
  -------------------
  1. číslo      1 1 0 1   (13)
  2. číslo    + 1 0 1 1   (11)
  -------------------
  VÝSLEDEK    1 1 0 0 0   (24)
  
  

---

2. Konstrukce binárních sčítaček

• Sčítačky jsou kombinační logické obvody. Dělíme je podle toho, zda umí zpracovat přenos z předchozího řádu.

• 2.1 Poloviční sčítačka (Half Adder – HA)

  • Sčítá dva bity ($A,B$). Má dva výstupy: Součet (Sum – S) a Přenos (Carry – C).

  • Nevýhoda: Neumí přičíst přenos z předchozího (nižšího) řádu. Proto se používá jen pro nejnižší bit (LSB).

    A	B	S (Sum)	C (Carry)
    0	0	0	0
    0	1	1	0
    1	0	1	0
    1	1	0	1

    Logické rovnice a realizace:

    • $S=A\oplus B$ (hradlo XOR)

    • $C=A\cdot B$ (hradlo AND)

      

      Realizace neúplné sčítačky pomocí hradla AND a XOR.

• 2.2 Úplná sčítačka (Full Adder – FA)

  • Sčítá dva bity ($A,B$) a navíc přenos z předchozího řádu ($C_{in}$).

  • Význam: Umožňuje řetězení. Pro sečtení $n$-bitových čísel seřadíme $n$ úplných sčítaček za sebe.

    A	B	Cin​	S (Sum)	Cout​
    0	0	0	0	0
    0	1	0	1	0
    1	1	0	0	1
    1	1	1	1	1

    Realizace:

    • Úplnou sčítačku lze sestavit ze dvou polovičních sčítaček a jednoho hradla OR. První HA sečte $A+B$, druhá HA přičte k výsledku $C_{in}$. Výstupy Carry se spojí přes OR.

      

      Realizace úplné binární sčítačky pomocí dvou polovičních (neúplných).

• 2.3 Vícebitová sčítačka

  • Pro $n$-bitový součet potřebujeme $n$ sčítaček. První bit (úplně vpravo) může obstarat poloviční sčítačka (HA), všechny ostatní řády už musí tvořit úplné sčítačky (FA), aby mohly zpracovat přenos.
  • Propojení: Výstup přenosu (Carry Out) z nižšího řádu se propojí se vstupem přenosu (Carry In) řádu vyššího.

---

3. Komparátor dvou logických proměnných

• Komparátor je obvod, který porovnává dvě binární čísla (v nejjednodušším případě 1-bitová $A$ a $B$) a určuje jejich vztah.

• 3.1 Funkce komparátoru:

  • Má tři výstupy odpovídající stavům:
    1. $A>B$
    2. $A<B$
    3. $A=B$

    A	B	A > B	A < B	A = B
    0	0	0	0	1
    0	1	0	1	0
    1	0	1	0	0
    1	1	0	0	1

• 3.2 Logická realizace:

  • Rovnost ($A=B$): Výstup je 1, pokud jsou oba vstupy stejné. Používá se hradlo XNOR (negovaný XOR).
  $$f_{(A=B)}=\overline{A\oplus B}$$
  • Větší než ($A>B$): Nastává pouze, když $A=1$ a $B=0$.
  $$f_{(A>B)}=A\cdot \overline{B}$$
  • Menší než ($A<B$): Nastává pouze, když $A=0$ a $B=1$.
  $$f_{(A<B)}=\overline{A}\cdot B$$

• 3.3 Vícebitový komparátor:

  • Princip priority: Porovnávání začíná od nejvyššího řádu (MSB). Pokud je tam rozdíl, výsledek je okamžitě určen. Nižší bity se prověřují jen v případě shody v těch vyšších.
  • Kaskádování: Vícebitové komparátory lze řetězit za sebe pomocí kaskádních vstupů, což umožňuje porovnávat libovolně dlouhá čísla (8, 16, 32 bitů).
  • Logická podmínka rovnosti ($A=B$): Nastává pouze tehdy, když jsou si rovny všechny odpovídající dvojice bitů (funkce AND z jednotlivých XNOR členů).