7. Rezonanční obvody a jejich využití

• Sériový rezonanční obvod: náhradní schéma, rezonance, činitel jakosti, rezonanční křivka, šířka pásma
• Paralelní rezonanční obvod: paralelní a sério-paralelní náhradní schéma, rezonance, činitel jakosti, rezonanční
• Křivka, šířka, pásma
• Použití rezonančních obvodů

---

1. Úvod

• Základním principem rezonančních obvodů je, že obsahují cívku (indukčnost $L$) a kondenzátor (kapacitu $C$). Tyto součástky mají tzv. reaktanci (zdánlivý odpor), která se mění s frekvencí. Rezonance nastává v okamžiku, kdy se tyto dvě reaktance vyrovnají.

---

2. Sériový rezonanční obvod

Náhradní schéma

• Schéma se skládá ze zdroje střídavého napětí a prvků R, L a C v jedné smyčce. Proud je v celém obvodu stejný. Impedance (celkový odpor obvodu) se vypočítá jako:

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$$

• Kde $X_L=\omega L$ je induktivní reaktance a $X_C=\frac{1}{\omega C}$ je kapacitní reaktance.

  
  

• 2.1 Rezonance

  • Rezonance nastává při tzv. rezonanční frekvenci ($f_0$), kdy se induktivní a kapacitní reaktance rovnají ($X_L=X_C$). Tyto reaktance působí proti sobě (mají opačnou fázi), takže se navzájem vyruší.

  • Vlastnosti při rezonanci: Impedance obvodu je minimální a rovná se pouze činnému odporu ($Z=R$). Díky tomu obvodem protéká maximální proud. Fázový posun mezi napětím a proudem je nulový.

  • Thomsonův vzorec: Výpočet rezonanční frekvence získáme z rovnosti $X_L=X_C$:

  $$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

• 2.2 Činitel jakosti (Q)

  • Udává, kolikrát je napětí na cívce (nebo kondenzátoru) při rezonanci větší než napětí na rezistoru (tedy napětí zdroje). Lze si to představit jako “přepětí” v obvodu. Čím menší je činný odpor $R$, tím vyšší je jakost.
  $$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}CR}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$ $${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

• 2.3 Rezonanční křivka a šířka pásma

  • Rezonanční křivka je graf, který ukazuje, jak se nějaká veličina (např. napětí, proud nebo amplituda kmitání) mění v závislosti na frekvenci.

  • Šířka pásma ($B$ nebo $\Delta f$): Je to rozsah frekvencí, ve kterém proud klesne z maximální hodnoty na hodnotu $I_{max}/\sqrt{2}$ (což odpovídá polovičnímu výkonu).

  • Platí, že čím vyšší je činitel jakosti $Q$, tím je rezonanční křivka užší a strmější. Vztah mezi nimi je: $B=\frac{f_0}{Q}$

    

    Rezonanční křivka

---

3. Paralelní rezonanční obvod

Ideální paralelní schéma RLC obvodu

Sérioparalelní náhradní schéma (Reálný obvod) RLC

• Ideální paralelní: Čisté $R$, $L$ a $C$ jsou paralelně. V praxi se vyskytuje málokdy.

• Sérioparalelní náhradní schéma (Reálný obvod): Skládá se ze dvou paralelních větví. V jedné větvi je ideální kondenzátor ($C$). Ve druhé větvi je cívka, kterou modelujeme jako ideální indukčnost ($L$) v sérii s jejím ztrátovým odporem ($R_L$).

• 3.1 Rezonance

  • Při rezonanci je výsledná susceptance (převrácená hodnota reaktance) obvodu nulová. Obvod se chová jako čistě činný odpor.

  • Vlastnosti při rezonanci: Zatímco u sériového obvodu je impedance minimální, u paralelního obvodu je impedance maximální ($Z_{max}\approx \frac{L}{R_{L}C}$). Výsledkem je, že celkový proud odebíraný ze zdroje je minimální. Uvnitř obvodu (mezi cívkou a kondenzátorem) však přeléváním energie vznikají velké oscilující proudy (tzv. proudová rezonance).

  • Rezonanční frekvence se u reálného obvodu mírně liší od Thomsonova vzorce, ale pokud je činitel jakosti obvodu dostatečně vysoký ($Q>10$), používá se zjednodušeně opět Thomsonův vzorec:

  $$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

• 3.2 Činitel jakosti (Q), rezonanční křivka a šířka pásma

  • Činitel jakosti ($Q$): Definuje se podobně jako u sériového, udává poměr proudů uvnitř obvodu k celkovému proudu:
  $$Q=\frac{R}{{\omega }_{0}L}={\omega }_{0}CR=R\sqrt{\frac{C}{L}}$$ $${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$
  • Šířka pásma ($B$): Stejný princip jako u sériového. Rozsah frekvencí, kde impedance neklesne pod $Z_{max}/\sqrt{2}$. Opět platí $B=\frac{f_0}{Q}$.

---

4. Použití rezonančních obvodů

• Díky své schopnosti reagovat velmi silně na jednu konkrétní frekvenci (nebo úzké pásmo frekvencí) a ostatní ignorovat, mají nezastupitelné místo v elektronice:

• Ladění přijímačů (Rádia, TV): Změnou kapacity kondenzátoru (např. ladicím kondenzátorem) nebo indukčnosti cívky se mění rezonanční frekvence $f_0$ obvodu. Tím se obvod “naladí” tak, aby zesílil signál jen z jedné konkrétní stanice a ostatní potlačil.

• Frekvenční filtry: Používají se k propuštění nebo zadržení určitých frekvencí. (Např. pásmová propust pustí jen střední frekvence, pásmová zádrž vyřízne rušivou frekvenci). K tomu se využívá šířka pásma.

• Oscilátory: Obvody generující střídavé signály (např. v hodinách, vysílačích, počítačích). Rezonanční obvod v nich určuje frekvenci, na které bude oscilátor kmitat (tzv. LC oscilátory).

• Přizpůsobení impedance: Využívají se na výstupech vysílačů pro optimální přenos výkonu mezi zesilovačem a anténou.