6. Frekvenční charakteristiky lineárních dvojbranů

• Druhy frekvencích charakteristiky, komplexní napěťový přenos, útlumová a fázová charakteristika
• Odvození přenosu, frekvenční charakteristiky
• Integrační RC článek, Derivační RC článek, Wienův RC článek

---

1. Úvod

• Derivační a integrační články jsou frekvenčně závislé lineární dvojbrany, které ve své struktuře obsahují nejméně jeden reaktanční prvek, tedy kondenzátor nebo cívku. V nejjednodušší formě jsou realizovány jako pasivní zapojení typu RC nebo RL. Funkce těchto obvodů je definována časovou konstantou a vztahem mezi vstupním a výstupním napětím, který v určitém pásmu odpovídá matematickým operacím derivace či integrace.

• Z hlediska frekvenční analýzy vykazují tyto obvody odlišné přenosové vlastnosti:

  1. Derivační článek má charakteristiku horní propusti (HP). Pro stejnosměrný proud a nízké frekvence je neprůchozí, se zvyšující se frekvencí vstupního signálu modul přenosu roste.
  2. Integrační článek se chová jako dolní propust (DP). Propouští stejnosměrnou složku a nízké frekvence, zatímco se zvyšující se frekvencí výstupní napětí klesá.

• Podle počtu akumulačních prvků dělíme tyto obvody na:

  1. Články 1. řádu: Obsahují jeden reaktanční prvek (C nebo L). Jejich frekvenční charakteristika klesá či stoupá se strmostí $20dB/dek$ a jsou definovány jednou mezní frekvencí ($f_m$).
  2. Články 2. řádu: Obsahují dva nezávislé akumulační prvky (zpravidla kombinace L a C). Vyznačují se strmostí $40dB/dek$ a v závislosti na činiteli jakosti mohou vykazovat rezonanční převýšení.

Derivační článek

Integrační článek

2. Druhy frekvenčních charakteristik

• 2.1 Amplitudová charakteristika

  • Charakteristika ukazuje, jak se amplituda výstupního signálu mění v závislosti na frekvenci vstupního signálu.

• 2.2 Útlumová charakteristika

  • V útlumových charakteristikách můžeme vidět jaké frekvence obvod propustí a jaké utlumí. Charakteristika je logaritmická verze amplitudové (v dB).

• 2.3 Fázová charakteristika

  • Fázová frekvenční charakteristika vyjadřuje časový posun výstupního harmonického signálu oproti signálu vstupnímu v závislosti na frekvenci.
  • U integračního článku (dolní propust) dochází ke zpožďování výstupního napětí, přičemž fázový posuv se limitně blíží hodnotě -90°.
  • Naopak u derivačního článku (horní propust) se výstupní signál oproti vstupu fázově předbíhá a posuv dosahuje hodnot až +90°.
  • Pro oba typy článků 1. řádu je charakteristický bod při tzv. mezní frekvenci (odpovídající poklesu amplitudy o 3 dB, tj. ), kdy je absolutní hodnota fázového posuvu rovna právě 45°.

• 2.4 Komplexní charakteristika

  • Kombinace amplitudové a fázové charakteristiky. V praxi se používá proto, že jedním vztahem dokáže popsat celé chování obvodu.
  Komplexní charakteristika

---

3. Klasifikace obvodů podle přenosových vlastností

• 3.1 Dolní propust

  • Ukazuje, jakým způsobem obvod propouští signály nízkých frekvencí (od nuly až po mezní kmitočet) a jaký útlum má pro signály s vysokou frekvencí.
  Charakteristika dolní propusti

• 3.2 Horní propust

  • Ukazuje, jakým způsobem obvod propouští signály vysokých frekvencí a jaký útlum má pro signály nízkých frekvencí (včetně potlačení stejnosměrné složky).
  Charakteristika horní propusti

• 3.3 Pásmová propust

  • Ukazuje, jakým způsobem obvod propouští signály v určitém pásmu frekvencí a jaký útlum má mimo toto pásmo.
  Charakteristika pásmové propusti

• 3.4 Pásmová zádrž

  • Tato charakteristika ukazuje, jakým způsobem obvod zadržuje nebo potlačuje signály v určitém pásmu frekvencí a propouští signály mimo toto pásmo.
  Charakteristika pásmové zádrži

---

4. Integrační článek

Schéma integračního článku

• Se zvyšující se frekvencí vstupního napětí, výstupní napětí klesá. U ideálního integrátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný pokles amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je -20 dB/dek.

Frekvenční charakteristika integračního článku

• Výpočet napěťového přenosu $A$:

$$A=\frac{u_2}{u_1}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}$$

• Pro výpočet přenos v db:

$$a=20\log \frac{U_2}{U_1}\left[\mathrm{dB}\right]$$

• Výpočet mezní frekvence:

$${\omega }_m=\frac{1}{\tau }\Rightarrow \tau =\frac{1}{{\omega }_m}\Rightarrow f_m=\frac{1}{2\pi RC}$$

• Mezní frekvence $f_m$ (též zlomová frekvence) je frekvence, při které se reaktance kondenzátoru ($X_C$) rovná odporu rezistoru ($R$). V tomto bodě dochází k poklesu amplitudy výstupního napětí o 3 dB (na hodnotu $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$ maxima) a fázový posuv mezi vstupem a výstupem je roven 45° (resp. $\frac{\pi }{4}$rad).

Charakteristika integračního článku

• Výpočet fázového posunu:

$$\phi =\mathrm{arctg}\frac{\mathrm{Im}A}{\mathrm{Re}A}=-\mathrm{arctg}\frac{f}{f_m}$$

• Mezi hlavní oblasti využití patří:

  1. Tvarování signálů: Integrační článek se využívá v generátorech průběhů pro převod obdélníkového signálu na signál trojúhelníkový. Při konstantním vstupním napětí (náběžná a sestupná hrana obdélníku) dochází na výstupu integrátoru k lineárnímu nárůstu, respektive poklesu napětí.

  2. Filtrace signálu (Dolní propust): Díky charakteristice dolní propusti slouží k potlačení vysokofrekvenčního rušení a šumu v komunikačních a měřicích řetězcích. Propouští užitečnou nízko-frekvenční složku signálu, zatímco rušivé složky s vyšší frekvencí jsou svedeny přes kondenzátor k zemi.

  3. Regulační technika (I-složka): V analogových PID regulátorech zajišťuje integrační složka odstranění trvalé regulační odchylky. Integrátor sčítá (akumuluje) odchylku v čase a působí na akční zásah tak dlouho, dokud není chyba nulová.

  4. A/D převodníky: U integračních A/D převodníků (např. s dvojí integrací) se využívá principu nabíjení kondenzátoru po přesně stanovenou dobu. Tato metoda zajišťuje vysokou přesnost a odolnost vůči rušení, protože integrací dochází k průměrování vstupního signálu.

Reakce integračního obvodu na skokové změny vstupního napětí

---

5. Derivační článek

Schéma derivačního článku

• Horní propust – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí, výstupní napětí roste. U ideálního derivátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence, desetinásobný vzrůst amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je +20 dB/dek.

Frekvenční charakteristika derivačního článku

• Výpočet přenosu:

$$A=\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}$$

Charakteristika derivačního článku

• Výpočet fázového posunu:

$$\phi =\mathrm{arctg}\frac{\mathrm{Im}A}{\mathrm{Re}A}=\mathrm{arctg}\frac{1}{\frac{f}{f_m}}$$

Reakce derivačního obvodu na skokové změny vstupního napětí

---

6. Wienův článek

Schéma wienova článku

• Wienův článek je pasivní RC obvod tvořený sériovou a paralelní větví (každá obsahuje rezistor a kondenzátor). Funkčně představuje kombinaci horní a dolní propusti, čímž vzniká charakteristika pásmové propusti.

• Klíčovým bodem je rezonanční frekvence $f_0=\frac{1}{2\pi RC}$. Při této frekvenci má článek maximální přenos a nulový fázový posun. Této vlastnosti se využívá v oscilátorech pro generování stabilního sinusového signálu (článek je zapojen v kladné zpětné vazbě operačního zesilovače).

• Chování mimo rezonanci:

  • Pro $f<f_0$: Obvod se chová jako horní propust. Výstupní napětí fázově předbíhá vstupní, úhel  je proto kladný.
  • Pro $f>f_0$: Obvod se chová jako dolní propust. Výstupní napětí se za vstupním zpožďuje, úhel  je proto záporný.
  Charakteristika wienova článku