1. Číselné soustavy a převody, odůvodnění použití aplikací různých soustav v číslicové technice

• 1. Popište číselné soustavy používané pro práci v digitální technice
• 2. Popište a na příkladech aplikujte převody čísel mezi různými číselnými soustavami
• 3. Popište zápis záporného a desetinného čísla v binární soustavě
• 4. Popište principy součtu a rozdílu dvou binárních čísel

---

1. Popište číselné soustavy používané pro práci v digitální technice

• V číslicové technice se používají různé číselné soustavy, které jsou vhodné pro reprezentaci dat a čísel.
  
  

• 1.1 Binární soustava

  • Používá pouze dvě číslice: 0 a 1.
  • Nejzákladnější číselná soustava používaná v digitální technice, protože odpovídá logickým stavům „zapnuto“ (1) a „vypnuto“ (0).
  • Elektronické součástky (např. tranzistory) přirozeně pracují ve dvou stavech, což odpovídá binární soustavě.     
  • V binární soustavě lze snadno použít Booleovu algebru pro návrh a optimalizaci digitálních systémů.
    
    

• 1.2 Hexadecimální soustava (šestnáctková)

  • Používá číslice: 0–9 a písmena: A–F, kde A = 10 ,  B = 11 , …,  F = 15.
  • Používá se pro zjednodušení práce s binárními čísly – každé čtyři bity odpovídají jedné hexadecimální číslici.
    
    

• 1.3 Desítková soustava (decimální)

  • Nejčastěji používaná číselná soustava v běžném životě.
  • Používá číslice: 0–9.
  • V číslicové technice se používá pro vstup nebo výstup hodnot.

---

2. Popište a na příkladech aplikujte převody čísel mezi různými číselnými soustavami

• 2.1 Převod z binární do desítkové soustavy

  • Příklad: $1101_2=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=13_{10}$

• 2.2 Převod z desítkové do binární soustavy

  • Číslo ${\text{23}}_{10}$:
    
  $$\begin{array}{lll}23÷2& =& 11\text{zbytek-}1\\ 11÷2& =& 5\text{zbytek-}1\\ 5÷2& =& 2\text{zbytek-}1\\ 2÷2& =& 1\text{zbytek-}0\\ 1÷2& =& 0\text{zbytek-}1\end{array}$$

  
  
  

  • Číslo dělíme 2.

  • Následně čteme zbytky pozpátku: ${\text{23}}_{10}={\text{10111}}_2$.

• 2.3 Převod z desítkové do hexadecimální soustavy

  • Dělíme základem 16 a výsledek (podíl) píšeme v celých čísel. Vzniklý podíl opětovně dělíme šestnácti a zbytek zapisujeme, dokud nedostaneme nulu. Když přečteme zbytky v obráceném pořadí jako šestnáctkové číslice, dostáváme šestnáctkové číslo.
  • Příklad: ${\text{66666}}_{10}$:
    
  $$\begin{array}{lll}66666÷16& =& 4166\text{zbytek }10(A_{16})\\ 4166÷16& =& 260\text{zbytek }6(6_{16})\\ 260÷16& =& 16\text{zbytek }4(4_{16})\\ 16÷16& =& 1\text{zbytek }0(0_{16})\\ 1÷16& =& 0\text{zbytek }1(1_{16})\end{array}$$

  
  
  

  • Výsledek: ${\text{66666}}_{10}={\text{1046A}}_{16}$

• 2.4 Převod z hexadecimální do desítkové soustavy

  • Když převádíme hexadecimální číslo do desítkové soustavy, využíváme toho, že každá číslice v hexadecimálním čísle má svou váhu, která je určena mocninou základu 16. Váha jednotlivých číslic klesá zleva doprava, přičemž nejvyšší mocnina odpovídá levé nejvýznamnější číslici a 16^0 odpovídá nejnižší pravé číslici.
  • Příklad: ${\text{1046A}}_{16}$:
    
    ${\text{1046A}}_{16}=(1\cdot 16^4)+(0\cdot 16^3)+(4\cdot 16^2)+(6\cdot 16^1)+(10\cdot 16^0)$
    
    
  • Výsledek: ${\text{66666}}_{10}$

• 2.5 Zápis desetinných čísel v binární soustavě

  • Desetinná čísla se v binární soustavě zapisují rozdělením na:
    • Celou část (převedenou běžně do binární soustavy).
    • Desetinnou část, kterou převedeme násobením základem 2, dokud nedosáhneme požadované přesnosti.
  • Příklad: ${\text{5,625}}_{10}$:
    
    1. Celá část: $$\begin{array}{l}\text{Celaˊ cˇaˊst }5=101_2.\end{array}$$
    2. Desetinná část (0,625): $$\begin{array}{ll}0,625\cdot 2& =1,25\to 1\\ 0,25\cdot 2& =0,5\to 0\\ 0,5\cdot 2& =1,0\to 1\end{array}$$

---

3. Popište zápis záporného a desetinného čísla v binární soustavě

• V binární soustavě se záporná čísla obvykle reprezentují pomocí dvojkového doplňku:
  1. Najdeme binární reprezentaci kladného čísla.
  2. Inverzní všechny bity (změníme 0 ←> 1).
  3. Přičteme 1.
• Příklad: Zápis -5 v 8 bitech:
  
  $$\begin{array}{l}{5}_{10}=00000101_2\\ \text{Inverznıˊ: }11111010_2\\ \text{Prˇicˇteme +1: }11111011_2\end{array}$$

• Výsledek: 11111011.

---

4. Popište principy součtu a rozdílu dvou binárních čísel

• 4.1 Součet binárních čísel

  • Sčítání v binární soustavě probíhá velmi podobně jako v desítkové (pod sebou), ale pracujeme pouze s ciframi 0 a 1.

  • Při sčítání postupujeme vždy zprava doleva (od nejméně významného bitu – LSB). Nejdůležitější je hlídat si přenos do vyššího řádu (tzv. carry), který si v duchu (nebo malou jedničkou nad sloupce) přenášíme dál.

    
    
    

    (řádek Carry):    1  1  1  1
    ------------------------------
    (Číslo A):        1  1  0  1  (13)
    (Číslo B):      + 1  0  1  1  (11)
    ------------------------------
    (VÝSLEDEK):     1  1  0  0  0  (24)
    

• 4.2 Rozdíl binárních čísel

  • Odčítání v binární soustavě probíhá obdobně jako v desítkové (pod sebou), ale při operaci $0-1$ si musíme „půjčit“ z vyššího řádu.

  • Postupujeme vždy zprava doleva (od nejméně významného bitu – LSB). Nejdůležitější je hlídat si výpůjčku z vyššího řádu (tzv. borrow), kterou v dalším (levém) sloupci odečteme od horního čísla.

    
    
    

    (řádek Borrow):      1  1  0  0
    ------------------------------
    (Číslo A):           1  1  0  1  (13)
    (Číslo B):         - 1  0  1  1  (11)
    ------------------------------
    (VÝSLEDEK):          0  0  1  0  (2)